(转)现代数学中的新理论–突变理论

(本文转自海武士的博客)

        突变理论“热”轰动一时,是20世纪60年代末和70年代初的又一大新闻。

许多年以来,自然界许多事物的连续的、平滑的运动变化过程,比如象地球围绕太阳旋转那种连续变化的自然现象,都可以用微积分的方法给以解释,并加以计算和预测,得到圆满的解决。我们可以说,经典的微积分是连续变化的数学模型。但是,当遇到充满突变和跳跃的自然现象来说,不连续性把系统的行为空间变成不可微的,微积分也无法解决。火山的爆发、岩石的破裂、桥梁的断塌,细胞的分裂、胚胎的变异、地震突然发生、蝗虫急速繁殖,病人忽然休克,如此等等,由量变突然发展为质变,乃是司空见惯的现象。不但自然界存在着许多突变现象,即使在生物界和社会科学领域也有很多突变现象。比如一只既惊又恐的狗似乎要咬人,但只要稍加恐吓就会掉头逃跑,而一只似乎要跑的狗,因涉及到被逼迫的刺激而突然地放弃逃走的念头,转为进攻(即所谓狗急跳墙)。一个国家对另一个国家的威胁变得太大,突然的造成不宣而战;市场上稳定的经济增长,因受到许多涨落的影响而突然的价跌千丈等等,突变现象不一而足。有没有可能建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢?这引起数学家的重视。法国数学家勒内·托姆(Renè Thom,1923~ )——菲尔兹奖获得者,从1968年开始陆续发表文章,论述“突变理论”。1972年,出版《构造稳定性和形态发生学》一书,明确的阐明了突变理论的内容,宣告了突变理论的诞生,一时风靡世界。英国齐曼(Zeeman)教授称突变理论是“数学界的一次智力革命——微积分以后最重要的发现”。

突变理论主要以拓扑学、奇点理论为工具,并通过对稳定性结构的研究,说明了有的事物不变,有的渐变,有的则是突变,从而提出了一系列的数学模型,用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程,描述各种现象为何从性状的一种形式突然地跳跃到根本不同的另一种形式。按照突变理论,自然界和社会现象中的大量的不连续事件,可以由某些特定的几何形状来表示。

托姆是一位卓有成就的拓扑学家,他以协边理论的创造驰名于世。60年代以来,他致力于高维空间曲面的研究,用微分拓扑的方法分析曲面的奇点,并进行分类。托姆提出,发生在三维空间和一维时间的四个因子控制下的突变,有七种突变类型:折迭突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐型突变、椭圆脐型突变以及抛物脐型突变等。例如,水由液体转化为气体、甚至由液体凝结为固体,水的这几种质态之间相互转化的模型,可用突变理论中的尖顶突变来描述。在光学中,一束光线(即一小组相邻的光线)有可能是以某种方式聚焦的,于是,它们汇集在一个平面上,甚至一条线上或一个点上,而不再充满于一个空间区域。它的强度可以很大,如果你拿一个放大镜放在阳光下,光线被聚集照射在纸片上,不一会纸片就会燃烧起来。与聚焦现象相反的是散焦现象。使一束光线聚焦或散焦的曲面分别称为焦聚面与焦散面。在光学中,借助于突变理论找到了光的焦聚散面的全部可能形式,这是突变理论应用到光学研究中的著名成果之一。夏日雨过天晴,在蔚蓝的天空中常常会出现一条五彩缤纷的彩虹。我们知道,虹是由于阳光照射到空中的水滴里,发生反射与折射而造成的;当我们在平静无风的海面航行或站在海边瞭望,往往会看到空中映现出远方船舶、岛屿、或城郭楼台的映像;在沙漠里旅行,有时也会发现远处突然有一片湖水,湖面树影摇曳。可是大风一起,这些景象就突然消失了,原来这是一种幻景,人们称为海市蜃楼。海市蜃楼的产生也是光线反射和折射的结果。另外据报导,在中纬度和低纬度的海区,在海深一千米左右处存在一个稳定的声道(这是海中的某一水层,声音能够被限制在这个“通道”内传播到很远的地方,而不会“溢”出去),这种现象的产生是由于在深海中存在一个稳定的极小声音速度层的缘故。实际上,雨过天晴出现的彩虹和海市蜃楼的形成都与散焦有关,深海声道的产生也涉及到声波的散焦,而散焦现象是可以用尖顶型突变来解释的,也就是说,光与声的散焦是一种突变过程。氢氧化物的水溶液有三种基本性质:强酸性;强碱性;不电离。显然,只要选择适当的控制变量,在控制平面上这些性质存在的中介状态,即弱碱、弱酸和两性区的分布应用蝴蝶突变来描述。尖顶突变型和蝴蝶突变型是几种质态之间能够可逆转化的模型。自然界还有些过程是不可逆的,比如死亡是一种突变,活人可以变为死人,反过来却不行。这一类过程可以用折迭突变型、燕尾突变型等势函数最高为奇次的模型来把握质量互便过程。突变理论解释的题目涉及到胚胎学、人性学、医学、生态学、地质学、地震学、光学、化学、协同学、激光、船舶稳定,以至囚犯骚动、战争爆发、市场崩溃等等,几乎无所不包。突变理论的研究对于深入讨论哲学上的质量互变规律,有很大意义。一百年前,黑格尔从大量的现象中第一次概括出质量互变规律,然而,一直没有出现过阐述这条规律的数学理论。所以,深入地研究突变理论,并从中吸取营养,将会促进质量互变理论的发展。

       齐曼在“突变热”中起了很大推动作用,他是英国沃里克大学著名的数学教授,早年也致力于拓扑学,颇有建树。当他接触托姆的理论后,便被吸引住了。他组织了一个研究团体,悉心钻研,扩展应用,短短几年,论文已有400多篇,可称极一时之盛。前苏联拓扑学家阿诺尔德(Arnold)也做了许多漂亮的工作。至于应用则集中在物理、化学和工程学方面,凡是涉及几种稳定态(如气相、液相、固相都是相对稳定的)之间的跃迁变化,只要因素变化的数目不超过4,都有可能应用突变理论,至少可以做定性的描述,有些则能得出定量的结果。

       现代科学日新月异,新鲜事物层出不穷,人们称突变理论是鲜花盛开的科学百花园中的一枝奇葩,它与比利时布鲁塞尔自由大学教授著名化学家普里高津的“耗散结构理论”,联邦德国斯图加特大学理论物理学家哈肯教授的“协同论”,构成今天的所谓“新三论”。我们完全相信,随着对突变理论研究工作的不断深入和应用范围的日益扩大,它将会成为数学中名副其实的新兴分支,而与微积分并光辉。

研究的现象

某个因素的连续变化(往往还是光滑,理解为无限次可微)的变化可能导致系统性台的突然变化。

·  突变现象的研究工具

分叉理论——处理参数变化时某些定性性态的改变;

突变理论——系统处理并成功地解决大量实际问题。

·  突变理论的数学基础

常微分方程的解有三个要素(Poincare,19世纪):结构稳定性、动态稳定性和临界性。

“粗”系统(Ahupohob和Nohtprtnh,1937)的提出确定了结构稳定性的概念。

Morse引理(1930)对突变理论的数学基础是一个重要贡献。

论文“曲面到平面的映射”(Whitney,1955)中指出:空间曲面到平面的投影只可能有两种奇异性,即折叠和尖点。这是突变理论分类表中最低阶的两种突变(Thom 突变理论创始人)。

50年代——引入横截性概念研究结构稳定性,并证明梯度系统的结构稳定系统是稠的。(Thom)

60年代——对梯度系统即一类特殊的映射 的奇点进行分类,并称之为“初等突变”,导致突变理论的建立。(Thom)

70年代——突变理论的奠基性著作出版(Thom,1972)。但没有对分类定理进行严格的数学证明。

以后——证明分类定理(Mather,Malgrange);应用和普及(Zeeman)。

突变理论不是一个独立的数学分支。

·  分叉理论与突变理论

分叉理论的最一般形式:关于非线性方程平衡解的理论。平衡解:常解(即平衡点)、时间周期解和概周期解。分叉理论的研究对象:非线性微分方程支配的演化问题的平衡解的分叉;及第四种平衡解或定常运动形式——混沌。目前已经研究比较透彻的关系(原图1“四种定常运动形式之间的转化”已经打不开)。

突变理论研究多个参数变化时平衡点附近分叉情况的全面图像,特别是其中可能出现的突然变化;属于静态分叉,即平衡点之间相互转化问题。突变理论在某种意义上包含了静态分叉,而广义的分叉理论又在某种意义上包含了突变理论。

·  突变理论的研究对象

   一般的,可以用定义在 中的K个微分—积分方程来描述一个时间演化的系统,其中带有参数 (原博文中并无表1)。

   第一次简化,不考虑积分项,将得到一个非线性偏微分方程组。

   第二次简化,不考虑对位置的导数,即不考虑位置的影响,得到一个非线性常微分方程组。

         上述这些情况都难以给出一般性的结论。

   第四次简化,得到一个动力学系统。已有较多研究。

   第五次简化,得到一个自治动力学系统。当参数很少时,已经可以得到一些有用的结果。

   第六次简化,导致一个梯度系统,已有相当多的结果。

   第七次简化,考虑的是梯度系统的平衡点,即突变理论的研究对象:研究由 解出的诸平衡点 如何随控制参数 的改变而改变。这种理论被称为初等突变理论。

   对非梯度系统中平衡点和其他现象进行的研究有不少发展,如广义分叉理论、奇异性理论、动力学系统理论和混沌理论。

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