(转)分岔图绘制不同方法的总结、比较

(本文转自海武士的博客,原图已经打不开,故略作修改)

经过近期的研究发现,目前对于系统单参数分岔图的计算共有以下的几种方法:

1)最大值法

   即对系统微分方程(组)进行求解,对求解的结果用getmax函数进行取点,并绘图。

2)Poincare截面法

  对系统参数的每一次取值,绘制其Poincare截面,进而得到其分岔图。

  这种方法需要注意的是,自治系统的Poincare截面是选取一超平面,平面上点的分布即构成一Poincare截面,非自治系统的Poincare截面则是根据系统激励的频率进行取点并绘图。

本帖将以Lorenz系统为例,对这两种方法进行比较

首先对Poincare截面法进行阐述。

编程如下(matlab)

Lorenz系统:

function dy = Lorenz(t,y)
% Lorenz系统
% 系统微分方程:
      dx/dt = -a(x-y)
      dy/dt = x(r-z)-y
      dz/dt = xy-bz
  a=y(4)
  r=y(5)
  b=y(6)
dy=zeros(6,1);
dy(1)=-y(4)*(y(1)-y(2));
dy(2)=y(1)*(y(5)-y(3))-y(2);
dy(3)=y(1)*y(2)-y(6)*y(3);
dy(4)=0;
dy(5)=0;
dy(6)=0;

随r的分岔图求解程序:——按照x=y平面取截面

function Lorenz_bifur_r
Z=[]; 
for r=linspace(1,500,1000); 
   % 舍弃前面迭带的结果,用后面的结果画图 
  [T,Y]=ode45(‘Lorenz’,[0,1],[1;1;1;16;r;4]);  
  [T,Y]=ode45(‘Lorenz’,[0,50],Y(length(Y),:)); 
  Y(:,1)=Y(:,2)-Y(:,1); 
   % 对计算结果进行判断,如果点满足x=y,则取点
   for k=2:length(Y) 
      f=k-1; 
      if Y(k,1)<0   
          if Y(f,1)>0
              y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1));
              Z=[Z r+abs(y)*i];
          end  
      else     
          if Y(f,1)<0  
              y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1));   
              Z=[Z r+abs(y)*i];   
          end  
      end 
  end
end
plot(Z,’.’,’markersize’,1)
title(‘Lorenz映射分岔图’)
xlabel(‘r’),ylabel(‘|y| where x=y’)

getmax法——取最大值法

function [Xmax] = getmax(y)
a=length(y);
j=1;
for i=(a-1)/2:a
  b=(y(i,1)-y(i-2,1))/2;
  c=(y(i,1)+y(i-2,1))/2-y(i-1,1);
   if y(i-2,1)<=y(i-1,1)&y(i-1,1)>=y(i,1)&c==0
      Xmax(j)=y(i-1,1);
      j=j+1;
   elseif y(i-2,1)<=y(i-1,1)&y(i-1,1)>=y(i,1)
      Xmax(j)=y(i-1,1)-b^2/(4*c);
      j=j+1;
  end
end

function Lorenz_bifur_r_getmax
% 最大值法求解分岔图
clear all
t0=[0 100];%积分时间

%bifurcation
for r=linspace(1,500,1000);  %r的变化精度
  [t,y]=ode45(‘Lorenz’,t0,[1;1;1;16;r;4]);
  [Xmax]=getmax(y(:,1));
  plot(r,Xmax,’b’,’markersize’,1)
   hold on
   clear Xmax
end

最后请参考计算机仿真第22卷第12期上一篇文章“李雅普诺夫指数的研究与仿真”中Lorenz系统的分岔图计算结果,大家比较一下即可看出孰优孰劣了。

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